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数学建模几种基本预测方法的探讨

茂名大学学报第16卷第6卷。16 茂名学院学报 2006 年 12 月 6 日 2006年第:1671-6590(2006)06-0039-04数学建模的几种基本预测方法探讨张益民,梁明义(茂名大学师范学院,广东茂名525000) 摘要:鉴于学生在建立预测模型时无法准确确定合适的预测模型,总结了几种预测方法:微分方程模型、时间序列法、灰色预测和BP神经网络。对各预测模型进行了简要介绍和分析数学建模中常用的预测模型,并对部分模型进行了适当改进,总结了相应的优缺点和适用的预测范围。关键词:微分方程模型;时间序列法;灰色预测;重要的分支。从预测的思维方式看,其基本理论主要包括惯性原理、类比原理和相关原理。预测的核心问题是预测的技术方法,或者说预测的数学模型。随着经济预测、电力预测、资源预测等各种预测的兴起,预测对各个领域的重要性开始显现,预测模型也迅速发展。预测的核心问题是预测的技术方法,或者说预测的数学模型。随着经济预测、电力预测、资源预测等各种预测的兴起,预测对各个领域的重要性开始显现,预测模型也迅速发展。预测的核心问题是预测的技术方法,或者说预测的数学模型。随着经济预测、电力预测、资源预测等各种预测的兴起,预测对各个领域的重要性开始显现,预测模型也迅速发展。

预测方法有很多种,从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法,到现在的灰色预测法、专家系统法和模糊数学法,甚至新兴的神经网络法,最优组合方法和小波分析。据相关统计,预测方法有200多种。因此,学生在使用这些方法构建预测模型时,往往无法正确判断使用哪种方法,从而无法准确地建立模型并达到所需的效果。然而,虽然预测方法有很多种,但每种方法都有自己的研究特点、优缺点和适用范围。本文将全面介绍数学建模中用到的几种基本预测模型,并总结每种模型的优缺点和适用范围。1 微分方程模型 当我们描述一个实际物体的一些特性随时间(或空间)的演化过程,分析它的变化规律,预测它的未来行为,研究它的控制方法时,我们通常会建立物体的动态行为。微分方程模型。微分方程大多是物理学或几何学中的典型问题。假设条件已经给定,只需将已知规律用数学符号表示,方程就可以列出来。解决的结果就是问题的答案。答案很独特,但有些问题是非物理领域的实际问题,只能通过具体情况分析或类比给出假设。做出不同的假设,得到不同的方程。比较典型的有[1]:传染病预测模型、经济增长预测模型、常规战和游击战预测模型、体内药物分布和消除预测模型、人口预测模型、预测模型对于烟雾的扩散和消失,以及对应的同类预测模型。

其基本规律随时间的增长趋势呈指数形式,根据变量个数建立初等微分模型:dxdt = rxx(0) = x0(如传染病预测、经济增长预测、人口预测等) Ξ 收稿日期:2006-08-22;修订日期:2006-10-13 作者简介:张益民(1980- ),男,湖南涟源人,学士,助教。或者微分方程(x·(t))=A(x(t))(x·(t)),(x(t))都是列向量,A和B是矩阵。然后,由于实际问题的变化,会有外部干预,比如传染病模型,只有健康的人可能被感染为患者,患者治愈后仍有可能成为患者或治愈后具有免疫力,政府卫生部门等的干预,会使已建立的基本模式失效。因此,可以根据情况对已建立的初等模型进行逐步改进,从而实现我们需要的微分方程预测模型。改进包括:dxdt = r(t) x 和 (x·(0) ) = B(如常规战和游击战、药物分配和排除预测等)其中 (x(1) 常数系数改进 x(0 ) = x0( x・( t) ) = A ( t) ( x( t) )・(0) ) = B(2) 添加控制函数 dxdt= rx + f( t)x(0) = x0 和( x·( t) ) = A ( x( t) ) + ( f( t) )( x·(0) ) = B(3) 综合dxdt= r( t) x + f( t)x(0 ) = x0 和 ( x·( t) ) = A ( t) ( x( t ) ) + (f( t) )( x·(0) ) = B 以及一些相应的改进模型,视情况而定。将使已建立的基本模型失效。因此,可以根据情况对已建立的初等模型进行逐步改进,从而实现我们需要的微分方程预测模型。改进包括:dxdt = r(t) x 和 (x·(0) ) = B(如常规战和游击战、药物分配和排除预测等)其中 (x(1) 常数系数改进 x(0 ) = x0( x・( t) ) = A ( t) ( x( t) )・(0) ) = B(2) 添加控制函数 dxdt= rx + f( t)x(0) = x0 和( x·( t) ) = A ( x( t) ) + ( f( t) )( x·(0) ) = B(3) 综合dxdt= r( t) x + f( t)x(0 ) = x0 和 ( x·( t) ) = A ( t) ( x( t ) ) + (f( t) )( x·(0) ) = B 以及一些相应的改进模型,视情况而定。将使已建立的基本模型失效。因此,可以根据情况对已建立的初等模型进行逐步改进,从而实现我们需要的微分方程预测模型。改进包括:dxdt = r(t) x 和 (x·(0) ) = B(如常规战和游击战、药物分配和排除预测等)其中 (x(1) 常数系数改进 x(0 ) = x0( x・( t) ) = A ( t) ( x( t) )・(0) ) = B(2) 添加控制函数 dxdt= rx + f( t)x(0) = x0 和( x·( t) ) = A ( x( t) ) + ( f( t) )( x·(0) ) = B(3) 综合dxdt= r( t) x + f( t)x(0 ) = x0 和 ( x·( t) ) = A ( t) ( x( t ) ) + (f( t) )( x·(0) ) = B 以及一些相应的改进模型,视情况而定。从而实现我们需要的微分方程预测模型。改进包括:dxdt = r(t) x 和 (x·(0) ) = B(如常规战和游击战、药物分配和排除预测等)其中 (x(1) 常数系数改进 x(0 ) = x0( x・( t) ) = A ( t) ( x( t) )・(0) ) = B(2) 添加控制函数 dxdt= rx + f( t)x(0) = x0 和( x·( t) ) = A ( x( t) ) + ( f( t) )( x·(0) ) = B(3) 综合dxdt= r( t) x + f( t)x(0 ) = x0 和 ( x·( t) ) = A ( t) ( x( t ) ) + (f( t) )( x·(0) ) = B 以及一些相应的改进模型,视情况而定。从而实现我们需要的微分方程预测模型。改进包括:dxdt = r(t) x 和 (x·(0) ) = B(如常规战和游击战、药物分配和排除预测等)其中 (x(1) 常数系数改进 x(0 ) = x0( x・( t) ) = A ( t) ( x( t) )・(0) ) = B(2) 添加控制函数 dxdt= rx + f( t)x(0) = x0 和( x·( t) ) = A ( x( t) ) + ( f( t) )( x·(0) ) = B(3) 综合dxdt= r( t) x + f( t)x(0 ) = x0 和 ( x·( t) ) = A ( t) ( x( t ) ) + (f( t) )( x·(0) ) = B 以及一些相应的改进模型,视情况而定。

得到模型后,可以用Matlab软件求解,绘制散点图,比较拟合度。微分方程模型的建立是基于基于相关原理的因果预测方法。该方法的优点是:短、中、长期预测均适用,既能反映内在规律,反映事物的内在关系,又能分析两个因素之间的相关性,准确度较高。此外,初等模型的改进也更容易理解和实现。该方法的缺点:虽然反映了内部规律,但由于方程的建立是基于局部规律独立的假设,做中长期预测时偏差有点大,微分方程的解很难得到。2 时间序列法将预测对象按时间顺序排列,形成所谓的时间序列变化规律,推断未来变化的可能性、变化趋势、变化规律,这就是时间序列预测方法。时间序列预测一般反映三种实际变化规律:趋势变化、周期性变化和随机变化。考虑一组给定的时变观测值 { zt , t = 1 , 2 , 3 , ..., n} ,如何选择合适的模型来预测 { zt , t = n + 1 , n + [2 , 3] ,过去的 2 , …, n + k} 个值来自于时间序列的集合形成。2.1 平稳序列的预测模型认为zt与过去的p值有关。+ l = φ1zt + l - 1 + …+φpzt + l - p +αt + l - θ1αt + l - 1 - …- θqαt + l - q 求上式两边的条件期望,有 t [ zt + l ] = φ1 EEt[ zt + l - 1 ] + ... + φpEt[ zt + l - p] + Et[αt + l] - θ1 Et[αt + l - 1 ] - ... - θqEt[αt + l - q] 从条件均值的性质,我们知道 t( zt - j) = zt - j , j = 0 ,1 ,2 , …; EEt( zt + j) = z ^t( j) , j = 1 ,2 , ...;

这些公式可以用来计算未来时间序列的预测值,即随着未来时间的到来,可以观察到该序列的值,从而可以计算出预测误差。对于 2006 年平均期限的模型,一步预测误差也将用于未来时间的预测。2.2 自回归模型若zt与p个过去值有关,则为p阶自回归过程,记为AR(p),则zt = <1 zt - 1 + ... + <pzt - p + ut 公式中: p 是自回归模型的阶数;<i( i = 1 , 2 , …, p) 是模型的待定系数;ut 是随机残差项;要求{ut}为白噪声序列,{zt}为时间序列。AR(p)模型将观测值zt描述为自身过去p值zt - 1, ..., zt - p和一个随机残差项ut的线性回归之和,因此称为自回归模型. AR(p)模型的计算是利用给定的观测值{zt,t=1,2,3,…,n}来判断zt与过去的几个值有关系,相关性是多少,获得每个订单 <i 的值。. 当p = 1时,是一个AR(1)线性模型,表明该序列中的当前观测值与其之前的观测值有关,而与之前的其他观测值无关。n}判断zt与过去的几个值有关系数学建模中常用的预测模型,相关性是什么,得到每个order <i的值。. 当p = 1时,是一个AR(1)线性模型,表明该序列中的当前观测值与其之前的观测值有关,而与之前的其他观测值无关。n}判断zt与过去的几个值有关系,相关性是什么,得到每个order <i的值。. 当p = 1时,是一个AR(1)线性模型,表明该序列中的当前观测值与其之前的观测值有关,而与之前的其他观测值无关。

2.3 移动平均模型如果观测值zt与过去的q个误差有关,那么zt被描述为过去误差的线性回归,称为移动平均模型,记为MA(q)。其表达式为 zt = ut - θ1 ut - 1 - ...- θqut - q 其中: q 是模型的阶数;θj (j = 1 , 2 , ..., q) 是模型的待定系数;ut 是误差;zt 是观测值。MA 模型的目的是获得每个 θj 的估计值。2.4 为了在拟合实际时间序列时具有更大的灵活性,自回归移动平均混合模型有时将自回归和移动平均项都纳入模型中。这种方法非常有效。自回归移动平均混合模型,记为 ARMA{ p , q} ,其表达式为 zt = <1 zt - 1 + …< pzt - p + ut - θ1 ut - 1 - …- θqut - q 以上模型统称为 ARMA 模型是时间序列建模中最重要和最常用的预测方法。事实上,对实际中出现的平稳时间序列进行适当的描述,往往会导致自回归、移动平均或混合模型,其阶数通常不超过 2。时间序列模型实际上是回归模型,属于定量预测. 它基于这样的原理,一方面承认事物发展的连续性,对过去时间序列的数据进行统计分析,可以预测事物的发展趋势;充分考虑偶然因素影响造成的随机性,以消除随机波动的影响,

优点是简单易操作,容易掌握,可以充分利用原始时间序列的各种数据,计算速度快,具有动态确定模型参数的能力,精度更高,采用组合时间序列或将时间序列与其他模型相结合。更好的结果。缺点是不能反映事物的内在联系,不能分析两个因素之间的相关性。常数的选择对数据的平滑程度影响很大,所以不能太小,只适合短期预测。3 灰色预测理论模型 灰色预测找出一定时期内的规律,建立负荷预测模型。建立灰色模型,首先对原始气体负荷数据进行累加,生成近似指数增长的序列,构造近似不完全微分方程。GM(1,1)模型是最常用的灰色模型(x)[3, 4],是一种松散的系统方法。基于灰色系统理论的灰色预测技术可以在数据不多的情况下使用。0)(1) -ua]e- ak+uax(0)( k + 1) = x(1)( k + 1) - x(1)( k) = (e- a- 1) [ x( 0)(1)-ua]e-ak 其中:a、u为模型参数,分别代表发展系数和灰色作用度;x(0)(1) 为第一时刻的燃气负荷值;x(1) (k) 为一次累积产生的气体负荷值;x(1)( k) = ∑ki = 0x(0)( i) ; x(0)( k + 1) 是第 k + 1 时刻的气体负荷值;{ x(0)} 是原始气体负荷序列;

14 第6期 张益民等:数学建模的几种基本预测方法的探讨 灰色预测的基本思想是从已知的数据序列中,按照一定的规则形成一个动态或非动态的白色模块,然后根据一定的变化,解决方法。解决未来的灰色模型。它的主要特点是模型不使用原始数据序列,而是使用生成的数据序列。其核心系统是灰色模型(GM),是一种将原始数据累加生成(或通过其他方法生成)得到近似指数规律,然后进行建模的模型方法。优点是不需要很多数据,一般只需要4个数据,可以解决历史数据少,序列完整性和可靠性低的问题;利用微分方程可以充分挖掘系统的本质,精度高;可以生成不规则的原始数据,得到规律性强的生成序列,简单易操作,易于测试。缺点是只适用于中长期预测,只适用于指数增长预测,对于波动性较差的时间序列预测结果较差。4 BP神经网络模型 BP神经网络模型由若干层相互连接的神经元组成,通常包括输入层、输出层和若干个隐藏层,每层包含若干个神经元。神经网络根据学习规律通过训练调整链接链的权重值,方便完成目标的收敛。

[2,5],是当前神经网络学习模型中最具代表性和应用最广泛的模型。BP神经网络框架图1 神经网络示意图 BP神经网络的神经传递函数一般是Sigmoid(S强弯曲)型可微函数,是严格递增的函数,呈现出良好的线性和非线性关系。平衡,因此可以实现输入和输出之间的任意非线性映射,适用于中长期预测;优点是逼近效果好,计算速度快,无需建立数学模型,精度高;理论基础扎实,推导过程严谨,结果公式对称美观,非线性拟合能力强。缺点是预测系统的输入和输出之间的关系无法表达和分析,预测者无法参与预测过程;收敛速度慢,海量数据处理困难,得到的网络容错性差,算法不完整(容易陷入局部最小值)。5 结语 本文全面介绍了几种基本预测方法的使用范围和相应的优缺点。学生在根据以上经验建立预测模型时,可以根据不同的情况做出不同的选择,从而建立合理的数学模型。. 其实一般来说,最合理的就是组合模型,即 上述两种或多种模型的组合可以达到更好的精度和更好的稳定性。[参考文献][1]姜启元,谢金星,叶军.数学模型[M]. 第 3 版。北京:高等教育出版社,2004.[2] 翟浩进,高静。长江序列分析中未来水污染的时间点[J]. 沉阳师范大学学报(自然科学版), 2006, 24(1):22-24.[3] 严明清,连乐明。瓦斯负荷及其预测模型[J].气与热, 2003, 23(5): 259 - 263. [4] 左书华, 李九发. 长江口年平均流量灰色拓扑预测及趋势分析[J]. 水电, 2005, 31(12): 19-21. [5] 周志华, 曹存根. 神经网络及其应用[M].北京:清华大学出版社,2004。谢金星,叶军。数学模型[M]。第 3 版。北京:高等教育出版社,2004.[2] 翟浩进,高静。长江序列分析中未来水污染的时间点[J]. 沉阳师范大学学报(自然科学版), 2006, 24(1):22-24.[3] 严明清,连乐明。瓦斯负荷及其预测模型[J].气与热, 2003, 23(5): 259 - 263. [4] 左书华, 李九发. 长江口年平均流量灰色拓扑预测及趋势分析[J]. 水电, 2005, 31(12): 19-21. [5] 周志华, 曹存根. 神经网络及其应用[M].北京:清华大学出版社,2004。谢金星,叶军。数学模型[M]。第 3 版。北京:高等教育出版社,2004.[2] 翟浩进,高静。长江序列分析中未来水污染的时间点[J]. 沉阳师范大学学报(自然科学版), 2006, 24(1):22-24.[3] 严明清,连乐明。瓦斯负荷及其预测模型[J].气与热, 2003, 23(5): 259 - 263. [4] 左书华, 李九发. 长江口年平均流量灰色拓扑预测及趋势分析[J]. 水电, 2005, 31(12): 19-21. [5] 周志华, 曹存根. 神经网络及其应用[M].北京:清华大学出版社,2004。长江序列分析中未来水污染的时间点[J]. 沉阳师范大学学报(自然科学版), 2006, 24(1):22-24.[3] 严明清,连乐明。瓦斯负荷及其预测模型[J].气与热, 2003, 23(5): 259 - 263. [4] 左书华, 李九发. 长江口年平均流量灰色拓扑预测及趋势分析[J]. 水电, 2005, 31(12): 19-21. [5] 周志华, 曹存根. 神经网络及其应用[M].北京:清华大学出版社,2004。长江序列分析中未来水污染的时间点[J]. 沉阳师范大学学报(自然科学版), 2006, 24(1):22-24.[3] 严明清,连乐明。瓦斯负荷及其预测模型[J].气与热, 2003, 23(5): 259 - 263. [4] 左书华, 李九发. 长江口年平均流量灰色拓扑预测及趋势分析[J]. 水电, 2005, 31(12): 19-21. [5] 周志华, 曹存根. 神经网络及其应用[M].北京:清华大学出版社,2004。长江口年平均流量灰色拓扑预测及趋势分析[J]. 水电, 2005, 31(12): 19-21. [5] 周志华, 曹存根. 神经网络及其应用[M].北京:清华大学出版社,2004。长江口年平均流量灰色拓扑预测及趋势分析[J]. 水电, 2005, 31(12): 19-21. [5] 周志华, 曹存根. 神经网络及其应用[M].北京:清华大学出版社,2004。